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Sociedad Española de Investigación
en Educación Matemática
Tesis Doctorales en Educación Matemática

Análisis de la comprensión de divisibilidad en el conjunto de los Números Naturales.

  • Autor: Samuel David Bodí Pascual.
  • Directora: Dra. Julia Valls González. Departamento de Innovación y Formación.
  • Fecha y lugar de defensa: 3 de julio de 2006. Departamento de Innovación y Formación Didáctica. Facultad de Educación. Universidad de Alicante.
  • Tribunal:
    • Presidente: Dr. Salvador Llinares Císcar.
    • Secretaria: Dra. Mª; del Carmen Penalva Martínez.
    • Vocales: Dr. Martín Socas Robayna (ULL) ; Dra. Mª Teresa González Astudillo (USA); Dra. Mercedes García Blanco (US).
  • Calificación: Sobresaliente cum laude por unanimidad (10).

Resumen

El objetivo de esta investigación es analizar la comprensión de los alumnos de educación secundaria (12-17 años) de la divisibilidad en N desde la perspectiva del modelo APOS (Acción-Proceso-Objeto-Esquema) y caracterizar los niveles de desarrollo del esquema de Divisibilidad (Intra-Ínter-Trans).

La memoria de la investigación se ha estructurado en cinco capítulos. En el primer capítulo se realiza el desarrollo histórico de la divisibilidad, el análisis del currículo y de los proyectos editoriales de educación primaria y secundaria en el siglo XX y primeros años de siglo XXI y se centra el problema de investigación en las investigaciones sobre la comprensión de la divisibilidad realizadas en el ámbito de la educación matemática. La información obtenida desde estos análisis ha permitido caracterizar el nacimiento de la divisibilidad, sus dificultades y su formalización a lo largo de los siglos, disponer de una visión esquematizada de su desarrollo curricular en la enseñanza obligatoria y obtener características de la comprensión de la divisibilidad.

En el capitulo dos, se describe el diseño metodológico de la investigación y se muestra cómo se proyectaron, se aplicaron y analizaron los instrumentos de recogida de datos, partiendo del estudio piloto (cuestionarios y entrevistas). Para seleccionar las tareas del cuestionario se realizó un estudio psicométrico del cuestionario piloto en el que se analizó el índice de dificultad, la homogeneidad, el índice de discriminación, el coeficiente de fiabilidad, la validez, la generalizabilidad y se llevó a acabo un análisis factorial. La caracterización de los ítems del cuestionario piloto, en función de los niveles de dificultad, permitió vincular la divisibilidad a los elementos matemáticos, a la influencia de las representaciones de los números naturales en el uso de la divisibilidad y las relaciones entre los elementos matemáticos. Tras el análisis psicométrico se elaboró el cuestionario definitivo en el que participaron 371 alumnos de los cursos 1º de ESO (120), 4º de ESO (137) y 1º de Bachillerato (114). Además, se realizaron 63 entrevistas individuales.

A partir de los datos obtenidos en el cuestionario definitivo se realizó un estudio psicométrico por niveles y global, lo que nos permitió determinar y comparar la dificultad, la fiabilidad, la generalizabilidad del cuestionario y realizar el análisis factorial del mismo. El análisis factorial realizado presentó un alto grado de coincidencia en los diferentes cursos y en la muestra global, coincidiendo los cinco primeros factores con escasas variaciones en el orden. El análisis factorial permitió identificar que la mayor influencia en la determinación de los principales factores es la acepción "Q es divisible por P" y el modo de representación factorial. Posteriormente, se efectuó un análisis cualitativo de las respuestas de los cuestionarios y de las entrevistas para establecer las formas de conocer los elementos de divisibilidad en N, caracterizar los niveles de desarrollo y la tematización del esquema de Divisibilidad. El procedimiento de análisis conjunto de los cuestionarios y entrevistas se realizó a través de tres fases. Una primera fase donde se caracterizaron las unidades de análisis y se generaron las primeras inferencias, a partir de las cuales, en una segunda fase, se determinaron las características de las formas de conocer los elementos matemáticos del esquema de divisibilidad y el desarrollo del esquema. Finalmente en la tercera fase se asignó el nivel de desarrollo del esquema de Divisibilidad (Intra-Ínter-Trans) a cada uno de los alumnos.

De los resultados se desprende que entre los alumnos predomina el Nivel Intra del desarrollo del esquema de Divisibilidad en todos los cursos, situándose entre el 48 % en 1º de Bachillerato y el 71% en 1º; de ESO. En el nivel Intra se tienen dificultades en establecer relaciones entre los elementos del esquema de Divisibilidad. En el nivel Ínter se empieza a establecer relaciones entre los elementos, aunque no siempre se es competente para indicar que un número es divisible por sus factores compuestos. En el nivel Trans se pueden establecer la mayoría de las relaciones de divisibilidad, vinculándola a la representación factorial de los números naturales.

La tematización del esquema de divisibilidad fue identificada a partir del manejo de las diferentes propiedades de la divisibilidad, con diferentes representaciones de los números. El uso de las relaciones bicondicionales, de la coordinación y de la relación contrarrecíproca entre los elementos de divisibilidad permite realizar inferencias correctas en términos de divisores y no divisores, de múltiplos y no múltiplos, admitiendo la idea de la unicidad de la descomposición en factores primos y que cualquier divisor o múltiplo del número debe poder formarse a partir de la representación factorial del mismo.

Existe paralelismo entre la reificación y la comprensión de los conceptos matemáticos cuando el individuo establece relaciones lógicas entre ellos, independientemente del modo de representación adoptado. En este sentido, la descomposición factorial entendida como "procepto" (procedimiento-concepto) ha resultado fundamental para el desarrollo del esquema de Divisibilidad, facilitando el desarrollo gradual del mismo.

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