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Sociedad Española de Investigación
en Educación Matemática
Tesis Doctorales en Educación Matemática

Modelos intuitivos y esquema conceptual del infinito en estudiantes de Educación Primaria, Secundaria Obligatoria, Bachillerato y Universidad.

  • Autor: José Luis Belmonte Martínez.
  • Director: Dr. Modesto Sierra Vázquez.
  • Fecha y lugar de defensa: 21 de abril de 2009. Departamento de Didáctica de la Matemática y Didáctica de las Ciencias Experimentales, Universidad de Salamanca.
  • Tribunal:
    • Presidenta: Dra. Carmen Azcárate Giménez (U. Autónoma de Barcelona).
    • Secretaria: Dra. Mª Teresa González Astudillo (U. de Salamanca).
    • Vocales: Dr. Manuel Pedro Huerta Palau (U. de Valencia), Dr. Tomás Ortega del Rincón (U. de Valladolid), Dr. Cesar Sáenz de Castro (U. Autónoma de Madrid).
  • Calificación: Sobresaliente cum Laude por unanimidad.

Resumen

Sin duda el infinito es uno de los conceptos más sofisticados que aparecen en el aprendizaje de las matemáticas; esto se debe, en parte, a la ausencia de referentes inmediatos en nuestro entorno que permitan establecer una primera aproximación a esta idea. La doble vertiente histórica que supone la diferencia ntre infinito potencial e infinito actual implica una colección de representaciones asociadas a ambas nociones tales como dinámico/estático, indefinido/definido, inabarcable/abarcable, etc., que a la vez que enriquece el esquema conceptual correspondiente, supone importantes obstáculos didácticos y epistemológicos.

Con el fin de ubicar este trabajo de investigación en su contexto se ha llevado a cabo, en el capítulo 3, una exhaustiva revisión de las publicaciones en torno a la enseñanza y aprendizaje del infinito, que ha permitido establecer el estado del arte, hasta ahora inédito, en base a una categorización de las mismas. Una buena parte de los estudios consultados no se ajustan a líneas específicas de investigación, sino que conjugan determinados tópicos relacionados con el infinito. No obstante, un análisis detallado ha permitido establecer ciertos criterios de clasificación que los agrupa en función de sus objetivos principales: modelos intuitivos, influencia del contexto, conflictos cognitivos en torno a la cardinalidad y equivalencia de conjuntos o lenguaje y corporeización del infinito.

El trabajo de campo ha supuesto la aplicación de un amplio cuestionario a más de dos mil estudiantes de sexto curso de Educación Primaria hasta primer curso de enseñanza universitaria de carreras científicas, así como una treintena de entrevistas que profundizaron en las respuestas obtenidas en los cuestionarios escritos.

El análisis e interpretación de los resultados nos permite establecer algunas conclusiones que merecen ser destacadas y que se recogen en los capítulos 5 y 6 de esta tesis. En primer lugar, en lo que se refiere a los Modelos Intuitivos Tácitos (MIT) se ha hallado la presencia de modelos aún no descritos en la literatura especializada. Así, junto a los modelos establecidos por Fischbein, Tsamir, Tirosh y otros autores tales como el modelo de inclusión, modelo infinito = infinito, modelo de inagotabilidad y modelo punto-marca, se han detectado los siguientes en el presente estudio: modelo de indefinición que manifiesta una cierta incapacidad para conocer o calcular resultados relacionados con procesos u objetos infinitos, el modelo acotado-finito / no acotado-infinito, el modelo de divergencia aplicado al resultado de series independientemente de que la convergencia del término enésimo sea más o menos acentuada y, por último, el modelo de aproximación que supone la extensión del lenguaje y los procedimientos propios de una realidad tangible y finita a situaciones que implican proceso indefinidos.

En segundo lugar, la definición del Patrón de Evolución Nivelar (PEN) ha facilitado el estudio del comportamiento de las diferentes categorías establecidas, a lo largo de los niveles educativos considerados; el perfil de tales patrones ha proporcionado información muy valiosa sobre aspectos tan importantes como la sensibilidad de los modelos intuitivos frente a las variaciones contextuales, la resistencia de dichos modelos frente a una representación determinada, el carácter emergente o residual de ciertos elementos o imágenes del esquema conceptual, el efecto del proceso de enseñanza y aprendizaje, etc.

Finalmente, en el capítulo 6, se ha elaborado una posible estructura para un Esquema Conceptual Nivelar (ECN) a través de una serie de componentes que recogen la gama más amplia posible de imágenes en torno a la idea de infinito. El sustrato básico de cada ECN se compone de los denominados elementos propios que corresponden a imágenes consolidadas en el nivel en cuestión; sobre este tipo de elementos se erigen otros de naturaleza netamente evolutiva tales como los elementos metafóricos (tanto métrico-espaciales como cinético-temporales), simbólicos (operacionales y relacionales) y preformales (o formales), o bien aquellos otros que constituyen rasgos idiosincrásicos del infinito como son los elementos finitistas e infinitistas y los elementos obstáculo.

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